4.2 Interpolacion

Interpolación

Se denomina interpolación a la obtención de nuevos puntos partiendo del conocimiento de un conjunto discreto de puntos.

En ingeniería y algunas ciencias es frecuente disponer de un cierto número de puntos obtenidos por muestreo o a partir de un experimento y pretender construir una función que los ajuste.

Otro problema estrechamente ligado con el de la interpolación es la aproximación de una función complicada por una más simple. Si tenemos una función cuyo cálculo resulta costoso, podemos partir de un cierto número de sus valores e interpolar dichos datos construyendo una función más simple. En general, por supuesto, no obtendremos los mismos valores evaluando la función obtenida que si evaluamos la función original, si bien dependiendo de las características del problema y del método de interpolación usado la ganancia en eficiencia puede compensar el error cometido.

En todo caso, se trata de, a partir de n parejas de puntos (x_k,y_k), obtener una función f que verifique

f(x_{k})=y_{k}{\mbox{ , }}k=1,\ldots ,n

a la que se denomina función interpolante de dichos puntos. A los puntos x_k se les llama nodos. Algunas formas de interpolación que se utilizan con frecuencia son la interpolacion lineal , la interpolacion polinomica a (de la cual la anterior es un caso particular), la interpolación por medio de spline o la interpolacion polinomica de hermite.

MATLAB con Interpolacion.

4.2.1 Polinomios de interpolación con diferencias divididas de Newton.

Sea $f_n \$ una variable discreta de $n \$ elementos y sea $x_n \$ otra variable discreta de $n \$ elementos los cuales corresponden, por parejas, a la imagen u ordenada y abcisa de los datos que se quieran interpolar, respectivamente, tales que:

$f\left( {x_k } \right) = f_k ,\quad k = 1, \ldots ,n$

Este método es muy algoritmico y resulta sumamente cómodo en determinados casos, sobre todo cuando se quiere calcular un polinomio interpolador de grado elevado.

El polinomio de grado $n-1 \$ resultante tendrá la forma

$\sum\limits_{j = 0}^{n - 1} {a_j g_j \left( x \right)}$

definiendo $g_j \left( x \right)$ como

$g_j \left( x \right) = \prod\limits_{i = 0}^{j-1} {\left( {x - x_i } \right)}$

y definiendo $a_j \$ como

$a_0 = f\left[ {x_0 } \right],a_1 = f\left[ {x_0 ,x_1 } \right], \ldots ,a_j = f\left[ {x_0 ,x_1 , \ldots ,x_{j - 1} ,x_j } \right]$

Los coeficientes $a_j \$ son las llamadas diferencias divididas.

Una vez se hayan realizado todos los cálculos, nótese que hay (muchas) más diferencias divididas que coeficientes $a_j \$ . El cálculo de todos los términos intermedios debe realizarse simplemente porque son necesarios para poder formar todos los términos finales. Sin embargo, los términos usados en la construcción del polinomio interpolador son todos aquellos que involucren a $x_0 \$ .

Estos coeficientes se calculan mediante los datos que se conocen de la función $f \$ .

$f\left[ {x_0 ,x_1 , \ldots ,x_{j - 1} ,x_j } \right]$ queda definido, como:

$f\left[ {x_i ,x_{i + 1} , \ldots ,x_{i + j - 1} ,x_{i + j} } \right] = \frac{{f\left[ {x_{i + 1} , \ldots ,x_{i + j - 1} ,x_{i + j} } \right] - f\left[ {x_i ,x_{i + 1} , \ldots ,x_{i + j - 1} } \right]}} {{x_{i + j} - x_i }},\quad f\left[ {x_i } \right] = f\left( {x_i } \right)$

MATLAB con la diferencias divididas de Newton.

4.2.2 Polinomios de interpolación de Lagrange.

Sea $f \$ la función a interpolar, sean $x_0, x_1,...,x_m \$ las abscisas conocidas de $f \$ y sean $f_0,f_1,...,f_m \$ los valores que toma la función en esas abscisas, el polinomio interpolador de grado $n \$ de Lagrange es un polinomio de la forma

$\sum\limits_{j = 0}^n {f_j l_j (x)} ,\;n \leqslant m$

donde $l_j(x) \$ son los llamados polinomios de Lagrange, que se calculan de este modo:

$l_j \left( x \right) = \prod\limits_{i \ne j} {\frac{{x - x_i }} {{x_j - x_i }}} = \frac{{\left( {x - x_0 } \right)\left( {x - x_1 } \right) \ldots \left( {x - x_{j - 1} } \right)\left( {x - x_{j + 1} } \right) \ldots \left( {x - x_n } \right)}} {{\left( {x_j - x_0 } \right)\left( {x_j - x_1 } \right) \ldots \left( {x_j - x_{j - 1} } \right)\left( {x_j - x_{j + 1} } \right) \ldots \left( {x_j - x_n } \right)}}$

Nótese que en estas condiciones, los coeficientes $l_j\left( x \right) \$ están bien definidos y son siempre distintos de cero.

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Regresión, Interpolacion Y Derivación Numérica